微分幾何学の最後の方にでてくるガウス・ボンネの定理は位相幾何と微分幾何とを結びつける定理である。またストークスの定理は良くベクトル解析の本の終わり出てくる、これが微分形式の本ではより簡潔な美しい形で再説明されています。
関連参考書「曲面の幾何」砂田利一、「曲線・曲面と接続の幾何」小沢哲也、「微分形式と接続」Rダーリング
「幾何学V微分形式」坪井俊、「平面図形の位相幾何」小沢哲也には微分形式の解説とド・ラーム理論が詳しく
書かれています。瀬山 士郎「トポロジー:柔らかい幾何学」と「トポロジー万華鏡」、中内 伸光「じっくり学ぶ曲線と曲面―微分幾何学初歩」が読みやすいです。テンソルについてはネットで「高校生のための微分幾何」を見て学びましょう。
微分幾何学の最後の方にでてくるガウス・ボンネの定理（高次元への拡張では微分形式が必要）は位相幾何と微分幾何とを結びつける定理であり、その結びつきは基本的にはストークスの定理が実現する。このストークスの定理は良くベクトル解析の本の終わり出てくる、これが微分形式の本ではより簡潔な美しい形で再説明されています。 ガウスがすごいのはユークリッド空間の平らな空間で展開されていた微分積分学を曲がった空間に適用しガウス曲率を発見し微分幾何学を研究したこと。ガウス曲率とは曲面の各点における曲がり具合を実数により眼に見える形で表現したもの。
http://www.youtube.com/watch?v=qZQJmTx_sZA&feature=related
www.youtube.com/watch?v=ax3i3E43qusでわかりやすく解説しています。必見です。
一方曲面の曲がり具合とは関係ないオイラー数という位相的不変量とが不思議なことに等式で結びついたのがガウス・ボンネの定理です。つまり微分幾何学＝位相幾何学という驚愕の美しい等式です。

数学セミナーの増刊で矢野健太郎のGauss-Bonnetの定理の解説が非常に分かりやすかったのですが、ここでは、最近の数学道具を多彩に披露されており、やや疲労を伴います。
なお小林 昭七先生の顔写真と業績内容が「現代幾何学の流れ」砂田 利一編に紹介されていますので必見です。
余談ですが、p.38のknot理論に関して数理科学2009.10月号で森下昌紀氏の解説で、電場と磁場は微分形式の言葉ではポアンカレ双対の関係にあり、Maxwellの方程式は電磁双対性を示している。また、数論で有名なガウスの平方剰余の相互法則はエタール位相の言葉で、ポアンカレ双対性として表現される、また
ガウスの平方剰余の相互法則はの類体論の双対定理へと発展したとありました。
加藤 和也「フェルマーの最終定理・佐藤‐テイト予想解決への道」も読みやすいのでお薦めです。

この本を読むための予備知識としては微分積分と線形代数の基礎だけで十分だと思います。著者は微分幾何学の世界的な権威だそうですが、説明は非常に親切で、かつ直感的です。ただ、ややこしい計算をひと言でさらっとすましていることがあるので、ときどき手を動かして自分で計算してみることをおすすめします。

微分幾何学の入門書には違いありませんが、随所に一流の研究者による見識がちりばめられ、結果として珠玉の内容となっています。

１章で曲線について触れて読者に準備をさせた後、２章から曲面論に入ります。先ずは斜交座標系を用いた議論を進めますが、それを一通り終えた後、直交座標系（動標構）で同様の計算を行い、それによる方が如何に見通しがよいかを示しています。ここで微分形式が導入されますが、このあたりも誠に丁寧に説明されます。

３章では、第一基本形式だけに基づく議論、つまりRiemann計量を用いた内容が展開され、共変微分や測地線が説明されます。４章では、本書の目的でもあるGauss-Bonnetの定理が説明されますが、１章の曲線に基づく議論が対比となっているのが見事です（素人ですので!的を得ていないかも知れません）。

本書は、著者の初めての日本語での数学書、とのことですが、確かに通常の日本語による書物とは異なった趣を持っています。例えば、軽快なユーモアや、口語調の多少くだけた解説が散りばめられ、読者を引き付けています。日本語による数学書はともすれば無味乾燥のものが多いのですが、本書は全くの例外と言えます。

尚、本レビューは旧版に基づくものです。新版では極小曲面の章が追加されていますが、旧版を手放すことができず、未だに購入しておりません。

ありがとうございました。