数学専攻の人がよむべき本で志賀先生の他の30講シリーズでも一番難解な本だと思います。
ポアンカレ予想を理解するのに「多様体の基礎」松本 幸夫がありますが、それの入門として
読むのが良いのでは。同じ著者の「高校生に贈る数学（3）」と併読がお薦めです。
なおもっとやさしい本は｢スバラシク実力がつくと評判のベクトリ解析キャンパスゼミ｣　馬場敬之、｢ベクトル解析｣戸田盛和　岩波書店、｢キーポイントベクトル解析｣高木隆司　岩波書店、　｢キーポイント行列と変換群｣　梁成吉岩波書店。特に「微分・位相幾何」和達 三樹と「物理学における幾何学的方法」シュッツ吉岡書店は多様体を学ぶのに超お薦め。
ネットでまずはw3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/bibunkeisiki.htmlで微分形式を知り
「高校生のための微分幾何」http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/index.htm　　
http://edmain.ed.kyushu-u.ac.jp/‾hayashi/lecturenote.pdf
www18.ocn.ne.jp/‾hchiba/math.htm
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/vecFuntou1/などで学ぼう。コピー＆ペーストでごらんぐださい。
http://jp.youtube.com/watch?v=6Gv0gpqzR9oの動画も必見です。

この人の本は一見入門書の陽でそうではない。程度が高いというよりも肝心な説明が無い。
しかもストークスなどの定理は工学部では是非必要であるはずだ。
これを知るのに、そうたいベクトル空間も、テンソルも外戚代数
も必要ない。従来どおり多変数の微分積分で説明した後に
テンソル、そうたいベクトル空間を定義すればいいのです。
一般に読者は３０項シリーズは、入門書のように捕らえているし
他の巻では確かに入門書であります。
初心者の方、理工系のかたは他の本で勉強されたらいです。
そうしてテンソルがいせき代数はちゃんとした微分幾何学でやればいいと思います。

物理などで使う一般的なベクトル解析の本ではありません。かなり純粋数学的な内容の本で、ベクトル解析というよりはむしろ微分幾何や多様体の入門書といったほうがいいでしょう。しかし、数学専攻以外には難しいかというとそんなことはなく、むしろこのくらいの数学を理解してから、電磁場や流体の勉強に入ると非常にスムーズにいくと思います。特にこれから流体力学や一般相対論をやろうという人には最適の書といえます。

　この本の特色は、前半でベクトル空間の双対性を論じ、テンソル代数、外積代数を定義してしまうことにあります。そしてそれらのことを土台としながら、中盤で正規直交完全性やグリーンの公式などの具体性をあげ、後半は主に微分形式を使って曲面や多様体を解説します。前半で抽象的な議論がされますが、もし十分に理解できなくても第11講にとべば、また読めると思います。そして最後まで読んでから、また最初に戻ればよいでしょう。

　このシリーズは演習問題がないので('例題'さえもない)、具体的に計算したい人は他の本で補わなければなりませんが、(多様体の入門としての)ベクトル解析自体は十分理解できると思います。逆に物理、工学系の学生で、勾配や発散を計算で身につけたい、ストークスの定理やガウスの定理をとにかく使いこなしたいと思う人には向いていないかもしれません。

　個人的には読みやすさ(1ヶ月以内で読めると思う)、コンパクトさ、参照のしやすさから、30講シリーズでも出色のできだと思います。

全体としてはテンソル代数と微分形式に関して書かれており、座標変換に対して不変な量について記述されている。私個人としては、ベクトル空間の双対空間の双対空間についてのイメージが得られたこと、外積代数を構成する際のイデアルの役割、微分形式を座標変換に対して不変なように記述していくと自然に曲面そして多様体に移行していくところがとてもためになった。多様体の必要性に疑問を持たれた方に、この本は微分形式という立場からその回答を与えていると思う。数学専攻の方に限らず、理工系のみなさんにとっても良い入門書だと思います。

物理の人が思い浮かべるベクトル解析の本ではない。数学でいうところのベクトル空間の話から始まり、テンソル代数、外積代数、微分形式、多様体へと講議が進んでいく。私自身は半導体技術者なので、物理が専門であるので、電磁気学で典型的にあらわれるベクトル解析の本を期待していたのだが、いい意味で裏切られた。物理との関連はあらわには示されないが、一般座標変換の下で不変な形式の解析学の構築、という本書の目的が、一般相対性理論と深いつながりがあるのを知って新鮮であった。物理を学ぶ人にも、強くお勧めしたい逸品。買って損はない。